Populações emparelhadas com reclassificação periódica : aplicação a uma carteira de clientes

Abstract

O objectivo central desta dissertação foi o estudo comparativo de populações abertas emparelhadas sujeitas a reclassificações periódicas. Tais populações estão divididas em subpopulações. Haverá emparelhamento se houver uma bijecção entre os conjuntos de subpopulações e quando os elementos duma dessas populações poderem transitar entre subpopulações se e só se o mesmo se verificar para as sub-populações correspondentes da outra população. Admitiremos que as reclassificações se fazem no início dos períodos juntamente com a classificação dos novos elementos. Assim as cadeias de Markov, com parâmetro discreto, surgem como o modelo matemático adequado para o estudo destas populações. É então possível mostrar, sob condições gerais, a existência de uma distribuição limite para as probabilidades dum elemento duma destas populações pertencer às várias sub-populações. Haverá pois estabilidade no que diz respeito às dimensões relativas das sub-populações. Esta estabilidade corresponde à existência dum vórtice estocástico, ver Guerreiro & Mexia (2003; 2004; 2008) e Guerreiro (2008). As distribuições limite de populações emparelhadas desempenham naturalmente um papel central na comparação das mesmas. Nesta dissertação consideramos duas populações emparelhadas, a dos clientes com e sem gestor de conta duma instituição bancária. Para obter as distribuições limites tivemos de estudar alguns problemas teóricos: definição de isomorfismo entre cadeias de Markov; ajustamento pelo método do mínimos quadrados das matrizes de transição estudo na influência de factores e suas interacções nos fluxos de entrada e saída. Referimos que o isomorfismo entre cadeias de Markov está na base do emparelhamento de populações. Quanto ao ajustamento das matrizes de transição o mesmo foi necessário pois apenas tinhamos os totais de entradas e saídas, nas sub-populações. Finalmente o estudo de fluxos de entrada e saída levou a simplificações importantes no modelo.

Our study is centred on the stochastic structure of matched open populations subject to periodic reclassifications. These populations are divided into sub-populations. Two or more of such population are matched when there is a 1-1 correspondence between their sub-populations and the elements of one of them can go to another if and only if the same occurs with elements from the corresponding sub-populations of the other. When the relative dimensions of the sub-populations are stable we say, following Guerreiro & Mexia (2003; 2004; 2008) and Guerreiro (2008), that we have a stochastic vortex. The existence of such a vortex leads to the existence of a limit distribution. Matched populations may then be compared through these distributions. To obtain conditions for the existence of stochastic vortices we assumed that: - The entries and departures occur at the beginning of fixed length time periods; - Also at the beginning of those periods the new elements are allocated to the different populations and the elements in the population are reallocated; - The entry and reallocation probabilities do not change from period to period. Under these assumptions the populations will have underlying homogeneous Markov chains. We intend to generalize these assumptions but they showed to be acceptable for the application we present. This application considered two populations of customers of a bank: with and without account manager. To carry out our study we showed how to: - define isomorphism between Markov chains; - adjust one step transition matrices through least squares We point out that the isomorphism between Markov chains underlined populations matching and the matrices adjustment was required since we had only the total numbers of entries and departures for sub-populations. Besides these study connected with Markov chains we showed how to carry out Analysis of Variance – like analysis of entries and departures to and from de populations of customers. This study was useful since it enabled as to length the model.