Dynamical problems in coagulation equations

Abstract

Neste trabalho são analisados alguns aspectos do comportamento asimptótico dos sistemas de um número infinito de equações diferenciais ordinárias que modelam a cinética de partículas de coagulação dados por $\dot{c}_1 = \alpha t^{\omega} - c_1^2 - c_1 \sum_{j=1}^{\infty} c_j},\dot{c}_j = c_1 c_{j-1} - c_1 c_j, j \geq 2 $, onde $\alpha>0 $ e $ \omega $ são constantes. Abordamos dois aspectos particularmente importantes do comportamento dinâmico das soluções deste sistema. Primeiro, o comportamento pontual das soluções quando $t \rightarrow +\infty $ e o comportamento da quantidade total de agregados definido por $\sum_{j=1}^{\infty} c_j $. O segundo aspecto prende-se com a ocorrência de comportamentos auto-semelhantes. No Capítulo 2 estudamos o caso $ \omega > -1/2 $ , no Capítulo 4 o caso $ \omega = -1/2 $ e no no Capítulo 5 o caso $ \omega < -1/2 $ utilizando uma mudança de variáveis apropriada. No Capítulo 3 consideramos uma extensão dos resultados do Capítulo 2, para fontes de monómeros do tipo $ J_1 (t)=\alpha t^\omega (1+\varepsilon (t)) $,onde $ \varepsilon (\cdot) $ é uma função contínua satisfazendo $ \varepsilon (t) \to 0 $ quando $ t \to +\infty $. Os casos $ -1 < \omega < -1/2$ e $ \omega < -1 $ são tratados no Capítulo 5 utilizando uma abordagem diferente, assente numa análise das propriedades de monotonicidade das soluções. Os resultados obtidos permitem-nos mostrar a existência de uma função $ \varsigma (t) \sim t^{\frac{\omega+2}{3}} $ e uma família de funções de escalamento $ \Phi_{1,\omega} $ para $ \omega > -\frac{1}{2} $ tais que $ c_j(t) \sim \varsigma (t)^{-a} \Phi(j \varsigma (t)^{-b}) $ se verifica para $ a=\frac{1-\omega}{2+\omega} $ e $ b=1 $. Resultados semelhantes são também obtidos no caso $ \omega = -\frac{1}{2} $. Para o caso $ \omega < -\frac{1}{2} $ alguns resultados parcias, e evidência numérica, sugerem que isso não acontece.