Das transformadas integrais ao cálculo fracionário aplicado à equação logística

Abstract

This work presents the definitions of some important functions inherent to Fractional Calculus as well as the definitions for Fractional Integral and Fractional Derivative. One of the main goals of this work is to solve real problems, that is why focus was given on fractional derivatives, in accordance with Caputo, once this definition is more pertinent to this kind of problem. It was introduced the exponential model wich describes bacterial growth in an ideal way and it was proposed its generalization through Fractional Calculus. In order to refine the solution given by the classical logistic equation and expand its application range in the study of tumor dynamics, we propose and solve its generalization, using the Fractional Calculus , i. e., we replace the derivative of order 1 in the ordinary equation by a non-integer order derivative 0 < ≤ 1. In both cases, the solution of the fractional equation has as a special case the solution of the classic model. Finally, we present the original part of this work, i.e., we analyse the applicability of the fractional logistic model to describe the growth of cancer tumor, that is, we compare the model with some presented in the literature and showed graphically that in several cases our model is more convenient than the usual ones

Neste trabalho, apresentamos algumas definições de funções inerentes ao Cálculo Fracionário bem como as definições para Derivada e Integral Fracionárias. Como um dos objetivos primordiais deste trabalho é solucionar problemas reais, foi dado um enfoque à derivada fracionária segundo Caputo, uma vez que esta definição é mais pertinente a este tipo de problema, como vamos ver mais adiante. Apresentamos o modelo exponencial que descreve o crescimento bacteriano em um meio ideal e propomos uma generalização do mesmo via Cálculo Fracionário. Com o intuito de refinar a solução dada pela clássica equação logística e ampliar o seu campo de aplicações no estudo de dinâmicas tumorais, propomos e resolvemos uma generalização para a mesma, utilizando o Cálculo Fracionário, isto é, substituímos a derivada de ordem 1 presente na equação ordinária por uma derivada de ordem não inteira 0 < ≤ 1. Em ambos os casos, a solução da equação fracionária tem, como caso particular, a solução do modelo clássico. Por fim, apresentamos a parte original deste trabalho, i.e., analisamos a aplicabilidade do modelo Logístico Fracionário para a descrição do crescimento de tumores de câncer, isto é, sabendo os modelos de crescimentos tumorais presentes na literatura, mostramos graficamente que o comportamento do modelo proposto é, em diversos casos, mais conveniente para descrever o crescimento de tumores de câncer do que os modelos usualmente utilizados