Estabilidade assintótica de uma classe de sistemas não lineares

Abstract

No presente trabalho consideramos o sistema de equações diferenciais ordinároas x1 = afλ 1 (x1)+ bfµ 2 (x2) ˙ x2 = cfη 1 (x1)+ dfζ 2 (x2) (I) onde a,b,c e d são coeficientes constantes, λ, ,η e ζ são números racionais positivos numeradores e denominadores ímpares, as funções fi :(−h,h) → R, h> 0, são contínuas e satisfazem as condições fi(0)=0,i =1, 2e xifi(xi) > 0,para xi =0,i =1, 2. Associado ao sistema(I) consideramos a seguinte função V = α Z x1 0 fξ 1 (τ )dτ + Z x2 0 fθ 2 (τ )dτ, (II) onde ξ e θ são número racionais numeradores e denominadores ímpares. Nosso objetivo principal é encontar é encontrar sob quais condições dos parâmetros a,b,c,d e α> 0 a função V definidaem(II) é uma função de Liapunov estita para a solução nula dos sitema (I), o que leva a concluir a estabilidade assintótica da solução nula.

In this work we consider the system of ordinary differential equations x1 = afλ 1 (x1)+ bfµ 2 (x2) ˙ x2 = cfη 1 (x1)+ dfζ 2 (x2) (I) where a,b,c and d are constantco efficients, λ, ,η and ζ a repositive rational numbers with odd numerators and denominators ,and the functions fi :(−h,h) → R, h> 0,are continuous and satisfy the conditions fi(0)=0,i =1, 2and xifi(xi) > 0,for xi =0,i = 1, 2. Associated to the system(I) we consider the following function V = α Z x1 0 fξ 1 (τ )dτ + Z x2 0 fθ 2 (τ )dτ, (II) where ξ and θ are positive rational numbers with odd numerators and denominators and α is a positive constant. Our main goal is find under what conditions the parameters a,b,c,d and α> 0 the function V defined in(II) is a strict Liapunov function for the zero solution of the system (I), which leads us to conclude the asymptotic stability of zero solution.