Investigações sobre sistemas axiomáticos na geometria euclidiana

Abstract

The objective of this research is to analyze the historical development of the classical work of geometry named The Elements and written by Euclid and the foundations of geometry Grundlangen der Geometrie (Foundations of Geometry) written by David Hilbert by studying the axiomatic structure of geometry dealt with by each author. The deductive rigor used by Euclid, which is based on the classical logic of Aristotle, has received several criticisms from modern mathematicians with regard to the gaps in its mathematical deductive system. The various uncertainties regarding the axiomatic system threatened its logical development and in the specific case of geometry, many discussions arose on the acceptance of the Euclid's fifth postulate. Only in the late nineteenth century, axiomatic systems reached deeper levels in the foundations of geometry and, in an attempt to complete the axiomatic geometry, Hilbert publishes “Grundlangen der Geometrie”, which is the axiomatic approach more widely adopted in the Euclidean geometry. In this context, we discuss the different concepts of classical and modern axiomatic systems , studying their logical meanings and its relations with the objects of geometry . As part of the final thoughts , this paper highlights some considerations on the concept of motion in geometry and a possible axiomatic approach to it

O objetivo desta pesquisa é analisar o desenvolvimento histórico da obra clássica de geometria, Os Elementos, de Euclides e os fundamentos da geometria proposto por David Hilbert em seu livro Grundlangen der Geometrie (Fundamentos da Geometria), estudando a estrutura axiomática da geometria abordada por cada autor. O rigor dedutivo utilizado por Euclides, apoiado na lógica clássica de Aristóteles, recebeu diversas críticas de matemáticos modernos no que tange a lacunas no seu sistema dedutivo. As diversas incertezas em relação ao sistema axiomático ameaçavam seu desenvolvimento lógico e especificamente, tratando-se da geometria, surgiram muitas discussões sobre a aceitação do quinto postulado de Euclides. Somente no final do século XIX os sistemas axiomáticos alcançavam níveis profundos nos fundamentos da geometria e, na tentativa de completar a axiomática da geometria, Hilbert publica os Grundlangen der Geometrie, abordagem axiomática mais amplamente adotada na geometria euclidiana. Neste contexto, discutimos as diferentes concepções dos sistemas axiomáticos clássicos e modernos, estudando seus significados lógicos e suas relações com os objetos da geometria. Como parte das reflexões finais, o presente trabalho destaca algumas considerações sobre o conceito de movimento em geometria e uma possível abordagem axiomática da mesma