Propriedades genéricas de sistemas hamiltonianos

Abstract

In this work our goal is to prove the General Density Theorem which is an analogous result for hamiltonian vector fields of the Kupka-Smale Theorem. The General Density Theorem states that the set of hamiltonian vector fields on a symplectic manifold M that has the property H2-N is a residual subset of Xk H(M). We begin by stating the basic linear and nonlinear symplectic theory and then we study its connections with hamiltonian systems, proving some of the main theorems of the theory and other related results. Here we give special attention to topics like generic curves of symplectic matrices, generating functions of symplectic diffeomorphisms and their applications in the problem of the stability of eliptic fixed points of hamiltonian systems, which is partially solved using the Birkhoff Normal Form. After stating the necessary results, we begin to study some hamiltonian dynamics using one-parameter families of symplectic diffeomorphisms. We prove a result stated by Pugh and consider the problem of structural stability of a certain type of one-parameter family. Finally we prove the General Density Theorem using the notion of pseudotransversality given in Appendix C. This work is based on the lecture notes Lectures on Hamiltonian Systems of professor R. Clark Robinson

Nosso objetivo neste trabalho é demonstrar o Teorema da Densidade Geral que é um resultado análogo ao Teorema de Kupka-Smale para campos de vetores hamiltonianos. O Teorema da Densidade Geral afirma que o conjuntos dos campos hamiltonianos em uma variedade simplética M que possuem a propriedade H2-N é residual em Xk H(M). Começamos estabelecendo as teorias simpléticas linear e não-linear básicas e depois estudamos suas conexões com os sistemas hamiltonianos, provando os principais resultados da teoria e alguns resultados relacionados. Recebem destaque o estudo das curvas genéricas de matrizes simpléticas, a noção de funções geradoras de difeomorfismos simpléticos e sua aplicação na questão da estabilidade dos pontos fixos elípticos de campos hamiltonianos, a qual é respondida parcialmente através da Forma Normal de Birkhoff. Depois de estabelecer os resultados necessários, passamos a estudar a dinâmica hamiltoniana do ponto de vista das famílias a um parâmetro de difeomorfismos simpléticos. Provamos um resultado devido a Pugh e consideramos a questão da estabilidade estrutural de certas famílias de difeomorfismos simpléticos. Finalmente, provamos o Teorema da Densidade Geral usando a noção de pseudotransversalidade dada no Apêndice C. Este trabalho é baseado nas notas de aula Lectures on Hamiltonian Systems do professor R. Clark Robinson