Potenciais periódicos: aplicação à espectroscopia do benzeno

Abstract

The Schrödinger equation for periodic potentials on a ring is approached. For the free rotor, eigenfunctions of the angular momentum operator, as well as eigenfunctions of the parity operator are considered. It is demonstrated that the periodicity of the probability density implies periodic or anti-periodic eigenfunctions. It is shown that the anti-periodic eigenfunctions, because they are discontinuous, or because they have discontinuous first derivatives, are illicit. Then, a few thermodynamic properties of the free rotor are investigated. With a periodic potential V (θ) = V0 (1 − cosNθ) defined on the ring, the problem is mapped in the well-known Mathieu equation with solutions expressed in terms of the eigenfunctions of the parity operator. Again, it is shown that the boundary conditions that make anti-periodic eigenfunctions are illegitimate, reaffirming the results most commonly found in the literature. The low and high energies limits are fully satisfactory. With N = 6 in V (θ), and fulcrum on the Hückel molecular orbital theory, a phenomenological approach to the molecule of benzene is used via the concept of effective moment of inertia in the description of spectroscopy in ultraviolet region

Apresenta-se uma abordagem da equação de Schrödinger para potenciais periódicos em um anel. Para o rotor livre, consideram-se as usuais autofunções do operador momento angular tanto quanto as autofunções do operador paridade. Demonstra-se que a periodicidade da densidade de probabilidade implica em autofunções periódicas, ou antiperiódicas. Mostra-se que as autofunções antiperiódicas, por serem descontínuas, ou por terem suas derivadas primeiras descontínuas, são soluções ilícitas. Em seguida investigam-se algumas propriedades termodinâmicas do rotor livre. Com um potencial periódico V (θ) = V0 (1 − cosNθ) definido sobre o anel, mapear-se o problema na bem conhecida equação de Mathieu com soluções expressas em termos de autofunções do operador paridade. Mais uma vez mostra-se que as condições de contorno que tornam as autofunções antiperiódicas são ilegítimas, reafirmando resultados mais comumente encontrados na literatura. Os limites de baixas e altas energias são retomados de forma plenamente satisfatória a partir das soluções encontradas. Com N = 6 em V (θ), e com fulcro na teoria de Hückel dos orbitais moleculares, aborda-se de maneira fenomenológica a molécula do benzeno usando o conceito de momento de inércia efetivo na descrição da espectroscopia na região do ultravioleta