Comportamento caótico em modelos matemáticos de câncer

Abstract

In this work we study a system of ordinary differential equations which represent a mathematical model of cancer which has chaotic dynamics. In the study we use the bifurcation theory, especially the Hopf bifurcation and the period doubling bifurcation (flip), we also use the basic notion of symbolic dynamics. The model is analyzed from two points of view. In the first one we consider all the parameters as being fixed and vary only one of them, which is related to the growth rate of the healthy cells. For a determined critical value of this parameter, a Hopf bifurcation occurs in the equilibrium point representing the coexistence of the three types of cells (healthy cells, immune system cells and tumor cells), giving rise to the existence of a limit cycle. Studying the continuation of this limit cycle, we detect the occurrence of a cascade of period doubling bifurcations which, in the limit, leads to the chaotic behaviour of the solutions. In a second analysis, we vary two of the parameters of the model, representing the inactivation of the immune system cells by the tumor cells and the inactivation of the tumor cells by the immune system cells. In this analysis we determined certain parameter values for which the solutions having chaotic behavior tend to a regular regime, which is obtained by the calculation of the topological entropy, the Lyapunov exponents and predictability.

No presente trabalho estudamos um sistema de equações diferenciais ordinárias de um modelo biológico de câncer que apresenta caos. Para o estudo faz-se necessário o conhecimento a respeito de bifurcações, em especial a bifurcação de Hopf e a de período duplo (“flip”), também de uma noção básica de dinâmica simbólica. O modelo é analisado de duas formas. No decorrer da primeira análise são fixados os parâmetros envolvidos, deixando variar somente um deles, a taxa de crescimento das células saudáveis. Para determinado valor crítico deste parâmetro, em torno do ponto de equilíbrio de coexistência entre as três populações celulares em estudo (células saudáveis, células do sistema imune e células tumorais), ocorre o surgimento de um ciclo limite, originado de uma bifurcação de Hopf. Em seguida, há uma bifurcação de duplicação de período de tal ciclo limite, conduzindo as soluções ao comportamento caótico. Numa segunda abordagem, são variados dois parâmetros, a taxa de inativação das células efetoras pelas células tumorais e a taxa de inativação das células tumorais pelas células efetoras. Encontra-se um regime paramétrico no qual as soluções que possuem comportamento caótico têm suas trajetórias tendendo a um comportamento ordenado, o que é verificado através do cálculo da entropia topológica, expoentes de Lyapunov e previsibilidade.