Algumas considerações sobre homotopia e homologia

Abstract

A Topologia Algébrica pode, intuitivamente, ser definida como sendo o estudo de técnicas para conseguir, através de funtores, imagens algébricas de espaços topológicos. Geralmente, estas imagens s˜ao grupos e as funç˜oes contínuas entre os espaços topológicos s˜ao projetadas sobre homomorfismos entre grupos. Ou seja, dado um espaço topológico X associamos a ele um grupo G(X) e dada uma funç˜ao contínua f : X → Y associamos a essa funç˜ao um homomorfismo de grupos G(f) : G(X) → G(Y ) satisfazendo algumas propriedades funtoriais. Com isso, pode-se resolver problemas da Topologia através da Algebra. Neste trabalho, apresentamos algumas consideraçoes sobre dois dos principais funtores da Topologia Algébrica, o grupo fundamental π1(X) e a homologia singular H∗(X). Antes de dar as definiçoes formais, apresentamos uma ideia intuitiva sobre o que medem, em termos topológicos, esses dois funtores. Depois de apresentarmos a ideia intuitiva, formalizaremos as definiçoes e apresentaremos alguns resultados sobre estes grupos, dentre eles o Teorema de Hurewicz, que relaciona π1(X) e H1(X), cujas demonstraçoes podem ser encontradas nas referências. Apresentamos também alguns exemplos e aplica¸c˜oes dos resultados.