Dinâmica secular rotacional de corpos tri-axiais: expansão de V em ressonâncias de primeira ordem

Abstract

Consider a finite body of mass m (C1) with moments of inertia A, B and C. This body orbits another one of mass much larger M (C2), which at first will be taken as a point, even if it is not completely spherical. The body C1, when orbit C2, performs a translational motion near a Keplerian. It will not be a Keplerian due to external disturbances. We will use two axes systems: fixed in the center of mass of C1 and other inertial. The C1 attitude, that is, the dynamic rotation of this body is know if we know how to situate mobile system according to inertial axes system. The strong influence exerted by C2 on C1, which is a flattened body, generates torques on C1, what affects its dynamics of rotation. We will obtain the mathematical formulation of this problem assuming C1 as a planet and C2 as the sun. Also applies to case of satellite and planet. In the case of Mercury-Sun system, the disturbing potential that governs rotation dynamics, for theoretical studies, necessarily have to be developed by powers of the eccentricity. As is known, such expansions are delicate because of the convergence issue. Thus, we intend to make a development until the third order (superior orders are not always achievable because of the volume of terms generated in cases of first-order resonances). By defining a modern set of canonical variables (Andoyer), we will assemble a disturbed Hamiltonian problem. The Andoyer's Variables allow to define averages, which enable us to discard short-term effects. Our results for the resonant angle variation of Mercury are in full agreement with those obtained by D'Hoedt & Lemaître (2004) and Rambaux & Bois (2004)

Dado um corpo finito de massa m (C1) com momentos de inércia A, B e C. Tal corpo orbita outro de massa muito maior M (C2), que, em princípio, será tomado como pontual, mesmo que este não seja totalmente esférico. O corpo C1, ao orbitar C2, executa um movimento translacional próximo a um kepleriano. Não será um kepleriano devido à perturbações externas. Usaremos dois sistemas de eixos: um fixo no centro de massa de C1 e outro inercial. A atitude de C1, isto é, a dinâmica de rotação deste corpo fica conhecida se sabemos localizar este sistema de eixos móvel em relação ao sistema inercial. A forte gravitação exercida por C2 sobre C1, que é achatada, gera torques em C1, o que afeta sua dinâmica de rotação. Obteremos a formulação matemática deste problema supondo C1 um planeta e C2 o sol. Também vale o caso satélite e planeta. No caso do sistema Mercúrio-Sol, o potencial perturbador que governa a dinâmica de rotação, para estudos teóricos, necessariamente tem que ser desenvolvido em potências da excentricidade. Como é sabido, tais expansões são delicadas devido à questão da convergência. Pretendemos então fazer um desenvolvimento até a terceira ordem (ordens superiores nem sempre são realizáveis devido ao volume de termos que são gerados nos casos de ressonâncias de primeira ordem). Definindo um moderno conjunto de variáveis canônicas (Andoyer), montaremos um problema Hamiltoniano perturbado. As Variáveis de Andoyer permitem efetuar médias, o que nos permite descartar efeitos de curto período. Nossos resultados para a variação do ângulo ressonante de Mercúrio estão em pleno acordo com os obtidos por D'Hoedt & Lemaître (2004) e Rambaux & Bois (2004)