Funções, funcionais e operadores na física matemática, com índices matriciais

Abstract

With the advance of mathematical methods throughout the centuries, in particular with respect to the differential calculus, the notion of fractional derivative emerged with Leibniz and later developed by several well known scientists. Today that formalism is well used in the study of diffusion phenomena among other areas. We extend the fractional indices to matricial indices and develop a formalism to handle this generalized derivative, as well as other operators, functions and functionals in mathematical physics, originally defined for natural indices. Here we only consider 2x2 hermitian and anti-hermitian matrices. These matrices are associated to the well known Pauli matrices and Hamilton's quaternions. Applications with mathematical physics functions are presented

Com o avanço dos métodos matemáticos e científicos, através dos séculos, principalmente no que concerne ao cálculo diferencial, surgiu a notação de derivadas com índices fracionários, estudadas por Leibniz e posteriormente por outros destacados cientistas. O chamado cálculo fracionário é utilizado na atualidade para estudar fenômenos de difusão entre outros. Nós estendemos esses índices, para índices matriciais e desenvolvemos um formalismo capaz de operar essas derivadas, assim como outros operadores, funções e funcionais da física matemática, originalmente bem definidos para índices naturais. Neste trabalho apenas consideramos matrizes hermitianas e anti-hermitianas 2x2. Essas matrizes estão associadas, as conhecidas matrizes de Pauli e também aos quaternions de Hamilton. Aplicações as funções de física matematica são desenvolvidas