Propriedades estatísticas de bilhares abertos

Abstract

Billiards are dynamical systems where a classical particle of mass m moves confined inside a boundary ∂Q to which suffers specular collisions. When the boundary is static, the kinetic energy of the particle is constant, hence its velocity. On the other hand, when a time perturbation is introduced in the boundary, depending on the phase of the moving wall as well the velocity, the particle can gain or lose energy upon collision. In this work, we study the oval billiard considering either the static as well as the time perturbation in the boundary. For the static boundary, the dynamics is described by a two dimensional, nonlinear mapping for the variables θ, corresponding to the polar angle and α denoting the angle the trajectory of the particle does with the tangent at the point of collision. We confirm the phase space is mixed containing both chaos, periodic islands as well as invariant spanning curves corresponding to the so called whispering gallery orbits. The chaotic sea is characterised via Lyapunov exponents. We concentrate particularly on the escape of particles from a hole in the boundary. We give convincing arguments the survival probability is described by an exponential function for short n and may change for a slower decay at larger n due to the stickiness phenomenon. The slope of the exponential decay scales with the relative size of the hole of the boundary. For the time dependent perturbation, the dynamics is described by a four dimensional and nonlinear mapping for the two previous angle variables plus the velocity of the particle and the time. The survival probability is also described by an exponential function for short n and, occasionally, a dynamical trapping produced by stickiness is observed too, therefore slowing down the speed of the decay of the survival probability

Bilhares são sistemas dinâmicos onde uma partícula de massa m se move, livre de qualquer potencial externo, no interior de uma região limitada por uma fronteira estática ou perturbada, com a qual sofre diversas colisões. Quando a partícula atinge a fronteira, ela sofre uma reflexão especular. Sua velocidade é mantida constante se a fronteira do bilhar for estática ou pode alterar em módulo se o bilhar tiver perturbação temporal na fronteira. No presente trabalho, vamos estudar o caso do bilhar ovóide com fronteira estática e com a fronteira oscilante com o tempo, através da utilização de mapeamentos discretos. Demonstramos de forma detalhada todo o formalismo para a obtenção das equações que descrevem a dinâmica para as duas versões do bilhar. Na versão estática, apresentamos as propriedades do espaço de fases. Em particular mostramos que ele é do tipo misto. É possível encontrar um mar de caos que geralmente envolve ilhas de estabilidade. Também observamos curvas invariantes do tipo spanning. Analisamos o comportamento do mar de caos via expoentes de Lyapunov. Ainda no modelo estático, introduzimos um orifício na fronteira do bilhar e estudamos a probabilidade de sobrevivência e escape das partículas. Verificamos que existe um decaimento da probabilidade de sobrevivência de forma exponencial, e que o valor de seu expoente é da ordem da extensão do buraco divido pelo comprimento total da fronteira. Para a versão do bilhar ovóide com a fronteira dependente do tempo, fazemos a introdução novamente de um orifício na fronteira oscilante e estudamos a probabilidade de sobrevivência e escape para as partículas. Observamos, assim como na versão estática que, o decaimento da probabilidade é de forma exponencial, e que o valor do expoente também é dado pela razão entre a extensão do buraco pelo comprimento total da fronteira