GeoGebra e o método de Briot & Bouquet para a resolução gráfica de equações cúbicas

Abstract

In the mid-nineteenth century, french mathematicians Briot and Bouquet have proposed an intriguing graphical method for solving cubic equations "depressed" - the third degree equations that do not have the quadratic term. The proposal is simple geometric construction, though based on an ingenious algebra. We propose here the verification and testing graphical method through an instructional sequence using the software GeoGebra also present the ingenious algebraic development that resulted in this graphic method for determination of real roots of a cubic equation of the type x³ + px + q = 0 where p and q are real numbers. The method states that these solutions are summarized in the abscissas of the points of intersection of the circumference containing the origin and the center C (-q/2, 1-p/2) with the parable y = x².

Em meados do século XIX, os matemáticos franceses Briot e Bouquet propuseram um intrigante método gráfico para resolução de equações cúbicas "depressed" – equações do 3º grau que não possuem o termo quadrático. A construção geométrica proposta é simples, entretanto baseia-se numa álgebra bastante engenhosa. Propomos aqui a comprovação e experimentação gráfica do método através de uma sequência didática utilizando o software GeoGebra. Apresentamos ainda o engenhoso desenvolvimento algébrico que resultou nesse método gráfico de determinação de raízes reais para uma equação cúbica do tipo x³ + px + q = 0, onde p e q são números reais. O método afirma que tais soluções se resumem nas abscissas dos pontos de interseção da parábola y = x² com a circunferência de centro em C (-q/2, 1-p/2) e que contém a origem.