Oscilador harmônico unidimensional via transformada unilateral de Fourier e mapeamento do potencial de morse unidimensional nos potenciais pseudo-harmônico e de kratzer tridimensionais

Abstract

The objective of this study is to solve the Schrödinger equation for the one-dimensional quantum harmonic oscillator via unilateral Fourier transform, and three-dimensional pseudoharmonic and Kratzer potentials via mapping onto the one-dimensional Morse potential. These methods are little explored in the literature on quantum mechanics. The unilateral Fourier transform method is interesting because the harmonic oscillator potential is an even potential which implies solutions with well-de ned parities. As the domain of unilateral transformed extends from 0 to 1, we can focus on nding the eigenfunction in the positive axis and, with appropriate boundary conditions at the origin plus the continuity of eigenfunction and its rst derivative, we can nd the proper extension to the eigenfunction on the whole axis. Subsequently we solve the one-dimensional generalized Morse potential, so mapping it onto the three dimensional power potential plus an inverse quadratic term. Manipulating the equation for this potential we show that there are only two particular cases that allow the mapping onto the Morse potential. These possibilities are the pseudoharmonic potential and the Kratzer potential. Substituting appropriate variables in both the equation of the pseudoharmonic potential and the Kratzer potential, we nd similar equations to the Morse potential. Thus we can identify the parameters of these equations with the Morse potential parameters, so that we nd the solution for the pseudoharmonic potential and Kratzer potential, as well as their particular cases, the harmonic oscillator and the potential Coulomb without solving the corresponding equations

Neste trabalho tivemos como objetivo aplicar métodos pouco explorados para resolver a equação de Schrödinger independente do tempo. Resolvemos o oscilador harmônico quântico unidimensional via transformada unilateral de Fourier, e os potenciais pseudoharm ônico e de Kratzer tridimensionais via mapeamento no potencial de Morse unidimensional, o qual também foi solucionado. A aplicação do método da transformada unilateral de Fourier na equação do oscilador harmônico unidimensional é interessante porque o potencial do oscilador harmônico é par o que implica em soluções com paridade bem de nida. Como o domínio da transformada unilateral se estende de 0 a 1, pudemos nos concentrar em encontrar a autofunção no semieixo positivo e, com as condições de contorno apropriadas na origem mais a continuidade da autofunção e de sua derivada primeira, encontramos as extensões adequadas para a autofunção em todo eixo. Posteriormente resolvemos o potencial de Morse unidimensional generalizado, a m de mapeá-lo no potencial potência tridimensional com singularidade inversamente quadr ática. Manipulando a equação para este potencial mostramos que só existem dois casos particulares, para estados ligados, que permitem o mapeamento na equação do potencial de Morse. Essas possibilidades são o potencial pseudo-harmônico e o potencial de Kratzer. Substituindo variáveis adequadas, tanto na equação do potencial pseudo-harmônico quanto na do potencial de Kratzer, conseguimos encontrar equações semelhantes à equação do potencial de Morse. Com isso conseguimos identi car os parâmetros dessas equações com os parâmetros do potencial de Morse, de forma que, pudemos encontrar a solução para os potenciais pseudo-harmônico e de Kratzer, assim como para os respectivos casos particulares, oscilador harmônico e potencial de Coulomb, sem nem ... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo)