Uma abordagem de gauge para corpos deformáveis

Abstract

Campos de gauge, tanto abelianos como não-abelianos, aparecem proeminentemente nas teorias modernas das interações fundamentais. Surgem também com um papel central na geometria moderna. Seria de grande utilidade encontrar estas estruturas de gauge inseridas em um contexto menos abstrato, como por exemplo em mecânica clássica. Isto é o que alguns autores chamam de teoria de gauge da mecânica. Neste trabalho discutiremos com certo detalhe dois modelos mecânicos, e mostraremos de uma maneira simples que campos de gauge aparecem neste contexto de uma forma natural. Mostraremos também como consequências observáveis das estruturas de gauge podem ser extraídas de tais sistemas. Um deles é o sistema composto por dois corpos rígidos planos acoplados por um pino nos seus centros de massa e o outro é um modelo para o automóvel. Através de uma geometrização do problema identificamos nele os elementos que constituem um feixe fibrado principal. O passo subsequente é o cálculo da conexão que surge quando impomos um vínculo sobre o sistema. O potencial de gauge é a conexão que assume um papel chave neste paralelo entre teorias de gauge e geometria diferencial em um contexto clássico.

Abstracts: Gauge fields, both abelian and non-abelian, appear prominently in modern theories of fundamental interactions. They also arise with a central role in modern geometry. It would be usefull to find such gauge structures in a less abstracts context, for instance in classical mechanics. This is what some authors have called gauge theory of mechanics. In this work, we discuss two simple mechanical models in detail, and show in a simple way that gauge fields appear in a very natural way in ordinary mechanical problems. We also show how observable consequences of the gauge structures might be obtained for such mechanical systems. We first study a system of two rigid bodies coupled by their mass centers and then examine a model for the automobile. Throuh a geometrization of the problem, we identify the elements that constitute a principal fiber bundle. The subsequent step is to compute the conexion that arises when we impose a constraint on the system. The gauge potencial is the conexion that assumes a important role in this paralel between gauge theories and diferential geometry in a classical context.