Equivalente teleparalelo de algumas soluções da relatividade geral

Abstract

Com o objetivo de entender como a torção descreve a interação gravitacional no contexto do Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral, obtemos os campos de tetrada, a conexão de Weitzenböck e o tensor de torção relativo a um espaço-tempo com simetria esférica de Schwarzschild. As mesmas grandezas são também obtidas para o caso do espaço-tempo estacionário com simetria axial de Kerr, assim como para o acoplamento spin-órbita. Mostra-se que, no limite de campo fraco, as partes tensorial e vetorial da torção de Schwarzschild combinam-se para dar o potencial newtoniano, enquanto que a torção axial, nas aproximações de campo fraco e rotação lenta, aparece como o componente gravito-magnética do campo gravitacional. A torção axial, portanto, é a responsável pelo efeito Lense-Thirring. Para o acoplamento spin-órbita, mostra-se que o acoplamento gravitacional da torção axial com o spin corresponde à interação spin-rotação, com a parte axial da torção representando a velocidade angular de rotação. Por outro lado, considerando a variedade de Weitzenböck como uma seqüência apropriada de redes discretas, composta de um número crescente de simplexos cada vez mais menores, obtém-se o análogo discreto da ação teleparalela, assim como suas correspondentes equações de campo. Para isso, assume-se que o interior de cada simplexo (polígino de Delaunay) é plano, e o comprimento l entre qualquer par de vértices serve como a variável independente, de maneira que a torção resulta localizada na hipersuperfície bidemensional (triângulo de deslocamento, ou hinge) da rede.

As an attempt to understand the mechanism through which torsion describes the gravitational interaction in the context of the teleparallel equivalent of general relativity, we obtain the tetradm the Weitzenböck connection, and the torsion fields of the spherical symmetric Schwarzschild solution. The same magnitudes are obtained for the case of the stationary axi-symmetric Kerr solution, as well as for the rotation-spin coupling. It is shown that, inthe weak field limit, the vector and the tensor parts of the Schwarzschild torsion combine themselves to yield the newtonian force, whereas in the slow-rotation and weak-field approximation, the axial torsion of the Kerr solution is shown to paly the role of the gravitomagnetic component of the gravitational field. The axial torsion, therefore, is the responsible for the Lense-Thirring effect. Concerning the spin-rotation coupling, it is shown that the gravitational coupling of the axial torsion with spin corresponds to the rotation-spin interaction, with the axial torsion playing the role of the rotational angular velocity. On the order hand, by considering the Weitzenböck manifold as the limit of a suitable sequence of discrete lattices composed of an increasing number of smaller and smaller simplices, it is obtained the discrete analogues of the teleparallel action, as well as the corrresponding simplicial vacuum field equation. This is done by considering the interior of each simplex (Delaunay lattice) as flat, and the link lengths l betwenn any pair of vertices as independent variables, so that torsions turns out to be localized in the two dimensional hypersurfaces (dislocation triangle, or hinge) of the lattice.