Propriedades topológicas e aritméticas dos fractais de Rauzy

Abstract

O objetivo deste trabalho é estudar propriedades topológicas e aritméticas dos fractais de Rauzy. Em particular provamos que o fractal de Rauzy é um subconjunto compacto de C, conexo, com interior simplesmente conexo e que ele induz um azulejamento periódico do plano complexo. Além disso, construimos um autômato finito capaz de gerar a fronteira do fractal de Rauzy. Com isto demos uma parametrização para a fronteira e claculamos sus dimensão de Hausdorff. Estudamos também os pontos extremos do fractal de Rauzy.

The aim of this work is to study some topological and arithmetical properties of the Rauzy fractals. In particular we proved that the Rauzy fractal is a compact subset of C, connected, its interior is simply connected, and it induces a periodic tiling of the complex pane. Furthermore, we studied the construction of a finite automaton able to generate the boundary of the Rauzy fractal, allowing us to provide a parametrization for its boundary, and claculate its Hausdorff dimension. We also studied the extremal points of the Rauzy fractal.