Um estudo da dinâmica fracamente não-linear de um sistema nanomecânico

Abstract

Osciladores eletromecânicos podem ser modelados matematicamente através da equação de Duffing ou equação de Van der Pol, mesmo que sejam sistemas de escala nanomética. Nesta dissertação analisamos um oscilador forçado sujeito a um amortecimento não-linear, que é representado pela equação de Duffing - Van der Pol. Em geral, não é fácil obter solução analítica exata para esta equação, então a análise é feita utilizando a teoria de perturbações para obter uma solução analítica aproximada. Para isso consideramos certos parâmetros do problema como sendo pequenos parâmetros, e obtemos a solução na forma de expansão direta. Devido o fato da frequência natural do sistema dinâmico depender do pequeno parâmetro, essa expansão é não uniforme, ou seja, apresenta termos seculares mistos (termos de Poisson), e além disso possui pequenos divisores. Essas inconveniências são eliminadas aplicando o método das múltiplas escalas e o método da média. Inicialmente os pequenos parâmetros são escolhidos de modo que o problema não perturbado se reduz a um oscilador harmônico forçado, e na escolha posterior o problema não perturbado é um oscilador linear amortecido e forçado.

Electromechanical oscillators can be mathematically modeled by a Du±ng equation or a Van der Pol equation, even if they are nanometric systems. In this work we studied a forced oscillator having nonlinear damping, that is represented by a Du±ng - Van der Pol equation. In general, it is not easy to get the exact analytical solution for this equation, then the analysis is done using the perturbation theory to get an approximate analytical solution. For this reason we considered that certain parameters of the problem are small parameters and we obtain the solution in the form of straightforward expansion. Due to the fact that natural frequency of the dynamic system depends on the small parameter, this expansion is not uniform, i.e. presents secular terms (Poisson terms) and also small-divisors. These inconveniences are eliminated using the method of multiple scales and the aver- aging method. Initially the small parameters are chosen so that the unperturbed problem is reduced to a forced harmonic oscillator, and in the subsequent choice the unperturbed is a forced oscillator having linear damping.