Estabilidade global e bifurcação de Hopf em um modelo de HIV baseado em sistemas do tipo Lotka-Volterra

Abstract

Nesta dissertação fazemos um estudo de modelos biológicos do tipo Lotka-Volterra, utilizando como ferramenta principal a teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Abordamos, no plano e no espaço, alguns modelos do tipo predador-presa. Analisamos os comportamentos das soluções sob a variação dos parâmetros e tratamos com detalhes a bifurcação de Hopf, que dá origem a uma órbita periódica isolada (ciclo limite). Estudamos também um teorema devido a Li e Muldowney [16] sobre a estabilidade global de um ponto de equilíbrio para um sistema x˙ = f(x), x ∈ Rn. Aplicamos este resultado no estudo de um modelo de HIV tridimensional, provando a estabilidade global de um ponto de equilíbrio, para certos valores dos parâmetros. Para o mesmo modelo, verificamos a ocorrência de uma dupla bifurcação de Hopf, que leva ao surgimento e posterior desaparecimento de um ciclo limite, ao variarmos um dos parâmetros envolvidos no sistema. As bifurcações de Hopf ocorrem simultaneamente à perda de estabilidade global do ponto de equilíbrio

In this work we present a study of biological models of Lotka-Volterra type, using as main tool the qualitative theory of ordinary differential equations. We analyze some two and three dimensional predator-prey models. The behavior of the solutions are studied under the variation of parameters and it is shown that a Hopf bifurcation occurs, leading to the creation of an isolated periodic orbit (limit cycle). We also study a theorem due to Li and Muldowney [16] about the global stability of an equilibrium point of a system x˙ = f(x), x ∈ Rn. We apply this result in the analysis of a three dimensional model of HIV with treatment, showing the global stability of an equilibrium point, for certain parameter values. For the same model, we prove the occurrence of two Hopf bifurcations, leading to the birth and subsequent death of a limit cycle, when we vary one of the parameters of the model. The Hopf bifurcations occurs simultaneously to the lack of global stability of the equilibrium point