Análise de métodos numéricos de diferenças finitas para solução da equação de Poisson em domínios irregulares

Abstract

Neste trabalho, analisamos métodos de diferenças finitas para solução numérica da equação de Poisson em domínios irregulares com condições do tipo Dirichlet, fazendo um estudo detalhado de cada um desses métodos numéricos. Em particular, analisamos o Método das Interfaces Imersas (MII), Métodos Clássicos usando interpolações linear (MCL) e quadrática (MCQ) e um Método do tipo Fronteiras Imersas modificado (MFIM). Inicialmente, comparamos os resultados obtidos por esses métodos na solução numérica de uma equação elíptica unidimensional, envolvendo uma interface localizada em um ponto que não coincide com a malha. No caso unidimensional provamos que o MCL e o MFIM são equivalentes. Posteriormente, analisamos os resultados obtidos por esses métodos na solução numérica de problemas elípticos bidimensionais, com condições de contorno definida sobre geometrias irregulares. Em geral, os métodos foram consistentes com a solução exata. No caso unidimensional o MII e o MCQ apresentaram resultados semelhantes, com ordem de precisão quadrática, enquanto que o MCL e o MFIM são menos precisos para esses testes. Após isso, realizamos testes preliminares envolvendo geometrias bidimensionais irregulares. Os resultados apontam que o MFIM e o MII são mais acurados e possuem ordem de convergência quadrática

In this work, we study finite difference methods for the numerical solution of PoissonŠs equation on irregular domains with Dirichlet-type boundary conditions, performing a detailed study of these schemes. In particular, we analyze the Immersed Interfaces method (IIM), the classical method with linear (CML) and quadratic (CMQ) interpolation and the modified immersed boundary method (MIBM). Firstly, we compare the results obtained from these methods for solving a one-dimensional elliptic equation. In this equation, an interface is located at an irregular grid point. In general, all methods have been found consistent to the exact solution. In the one-dimensional case, IIM and CMQ have showed similar results, with second-order accuracy while MBIM and CML have presented less accurate results. Finally, we conduct preliminary results for two-dimensional irregular geometries. The results show that IIM and MIBM are more accurate than the classical method with linear interpolation