Teorema de Pitágoras: algumas extensões/generalizações e atividades com o Software GeoGebra

Abstract

O objetivo principal deste trabalho é estudar algumas extensões de um dos teoremas mais importantes e divulgados da matemática elementar: o Teorema de Pitágoras, que tem suas aplicações em diversas áreas do conhecimento. A princípio é realizado um breve resgate histórico da vida de Pitágoras, o surgimento do teorema e suas aplicações. Por possuir mais de 400 demonstrações, elencamos algumas delas e as reproduzimos. Algumas demonstrações podem ser feitas de maneira lúdica, em forma de quebra-cabeça e outras que se tornaram famosas ao longo da história. São feitas várias extensões do teorema, para polígonos regulares, polígonos semelhantes e figuras não retilíneas. A generalização de Polya também é enunciada e demonstrada, situação em que o padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido para quaisquer tipos de figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, sendo o Teorema de Pitágoras um caso particular, bem como a generalização de Pappus. Com o uso do software GeoGebra, foram propostas e desenvolvidas atividades em sala de informática, explorando o Teorema de Pitágoras e algumas de suas extensões. Por fim, é analisado como o Teorema de Pitágoras e o seu ensino são abordados em certos documentos oficiais de ensino no Brasil (PCNs, Currículo do Estado de São Paulo, matrizes de referências do SARESP, SAEB e ENEM)

The main objective of this work is to study some extensions of one of the most important and published elementary mathematics theorem: the Pythagorean Theorem, which has applications in many areas of knowledge. We begin with a brief historical review of the life of Pythagoras, the emergence of the theorem and its applications. From over 400 existing proofs, we list some of them and reproduce. Some proofs can be made in a playful manner, as shaped puzzle and others have become famous throughout the history. Several extensions of the theorem are presented for regular polygons, similar polygons and non-rectilinear figures. The generalization of Polya is also stated and demonstrated, in which the Pythagorean pattern (area ratio) is valid for any kind of similar figures constructed on the sides of a right triangle, being the Pythagorean theorem a particular case, as well as the generalization of Pappus. By using the GeoGebra software, we proposed and developed activities in a computer lab, exploring the Pythagorean Theorem and some of its extensions. Finally, it is analyzed how the Pythagorean Theorem and its teaching are cited in some official documents concerning education in Brazil (PCNs, Curriculum of São Paulo, matrices of references SARESP, SAEB and ENEM)