Potenciais singulares na equação de Schrodinger unidimensional via transformada de Laplace

Abstract

The present work has as its goal to treat well known and interesting unidimensional cases from quantum mechanics through an unusual approach within this eld of physics. The operational method of Laplace transform, in spite of its use by Erwin Schrödinger in 1926 when treating the radial equation for the hydrogen atom, turned out to be forgotten for decades. However, the method has gained attention again for its use as a powerful tool from mathematical physics applied to the quantum mechanics, appearing in recent works. The method is specially suitable to the approach of cases where we have potential functions with even parity, because this implies in eigenfunctions with de ned parity, and since the domain of this transform ranges from 0 to ∞, it su ces that we nd the eigenfunction in the positive semi axis and, with the boundary conditions imposed over the eigenfunction at the origin plus the continuity (discontinuity) of the eigenfunction and its derivative, we make the odd, even or both parity extensions so we can get the eigenfunction along all the axis. Factoring the eigenfunction behavior at in nity and origin, we take the due care with the points that might bring us problems in the later steps of the solving process, thus we can manipulate the Schrödinger's Equation regardless of time, so that way we make it convenient to the application of Laplace transform. The Chapter 3 shows the methodology that must be followed in order to search for the solutions to each problem

Este trabalho tem como principal objetivo tratar casos unidimensionais conhecidos e interessantes em mecânica quântica por uma abordagem incomum nesta área da física. O método operacional da transformada de Laplace, apesar de utilizado pelo próprio Erwin Schrödinger em 1926 ao tratar da equação radial para o átomo de hidrogênio, se mostrou esquecido por décadas. No entanto, voltou a se mostrar uma poderosa ferramenta da física-matemática aplicada à mecânica quântica, surgindo em diversos trabalhos recentes. O método se mostra propício na abordagem de casos onde temos potenciais pares, pois isto implica em autofunções com paridade de nida, e como o domínio desta transformada se estende de 0 a ∞, basta encontrarmos a autofunção no semieixo positivo e, com as condições de contorno impostas sobre a autofunção na origem mais a continuidade (descontinuidade) da autofunção e sua derivada, fazemos a extensão ímpar, par ou ambas, para obtermos a autofunção em todo o eixo. Fatorando o comportamento da autofunção no in nito e na origem, tomamos o devido cuidado com os pontos que poderiam nos trazer algum problema na sequência da resolução, assim conseguimos manipular a equação de Schrödinger independente do tempo de forma a torná-la conveniente à aplicação da transformada de Laplace. O Capítulo 3 mostra a metodologia que deve se seguir para buscarmos as soluções de cada problema