Medidas não triviais no círculo unitário e polinômios para-ortogonais associados

Abstract

Dado um par de sequências reais, sendo uma delas sequência encadeada positiva, podemos considerar uma sequência de polinômios que satisfazem uma relação de recorrência de três termos, de tal modo que os zeros destes polinômios sejam simples e estejam sobre o círculo unitário. Neste trabalho mostramos que é possível obter, a partir dessa fórmula de recorrência, uma única medida não trivial no círculo unitário. Provamos também que a sequência de polinômios gerados por essa relação de recorrência é uma sequência de polinômios para-ortogonais associados à medida obtida. Além disso, obtemos limitantes para os zeros extremos de tais polinômios e fornecemos estimativas para o suporte da medida associada.

Given a pair of real sequences, where one of them is a positive chain sequence, we can associate a sequence of polynomials which satisfy a three term recurrence formula and such that the zeros of these polynomials are simple and lie on the unit circle. In this manuscript, we show that, starting from this three term recurrence formula, it is always possible to obtain a unique nontrivial measure on the unit circle. We also prove that the generated sequence of polynomials is a sequence of para-orthogonal polynomials associated with this measure. Furthermore, we obtain bounds for the extreme zeros of these polynomials and also provide estimates for the support of the associated measure.