Argumentos de Gordon no estudo espectral de operadores de Schrödinger unidimensionais

Abstract

Neste trabalho fizemos um levantamento das diferentes versões discretas e contínuas dos argumentos de Gordon, utilizados no estudo espectral de operadores de Schrödinger unidimensionais. Estudamos como aproximações periódicas do potencial (caso contínuo) e ocorrências de estruturas repetitivas do potencial (caso discreto) permitem excluir o espectro pontual de tais operadores. No caso discreto, as aplicações dos argumentos de Gordon fornecem resultados genéricos, q.t.p. (quase toda parte) e uniformes sobre a ausência de espectro pontual para modelos de Schrödinger com potenciais gerados por substituições primitivas e rotações na circunferência. Parte dos resultados obtidos na demonstração desses argumentos podem ser usados para mostrar que o espectro dos operadores tem medida de Lebesgue zero. Consequentemente, com a ocorrência simultânea das propriedades ausência de espectro pontual e espectro com medida zero , obtemos operadores de Schrödinger com espectro puramente singular contínuo. No caso contí- nuo, as aplicações incluem operadores de Schrödinger gerados por potenciais de Gordon com frequências de Liouville, funções Hölder contínuas, funções escada e funções com singularidades locais

In this work review di erent versions of discrete and continuous Gordon's arguments, used in the spectral study of one-dimensional Schrödinger operators. We study periodic approximations of the potential (continuous case) and occurrences of repetitive structures of the potential (discrete case) that allow us to exclude the point spectrum of such operators. In the discrete case, the applications of Gordon's arguments supply generic results, almost sure and uniform on the absence of point spectrum for Schrödinger models with potentials generated by primitive substitutions and circle maps. Part of the results obtained in the demonstration of these arguments can be used to show that the spectrum of the operators has zero Lebesgue measure. Consequently, with the properties absence of point spectrum and spectrum with zero measure , we obtain Schrödinger operators with purely singular continuous spectrum. In the continuous case, the applications include Schrödinger operators generated by Gordon potentials with Liouville frequencies, Hölder continuous functions, step functions and functions with power-type singularities